Rabu, 18 Mei 2011

Geometri Dimensi Tiga Kubus

Kubus adalah contoh sebuah benda ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar yang masing-masing berbentuk persegi yang sama dan sebangun, nama lain dari kubus adalah bidang enam beraturan. Dibawah ini adalah gambar dari kubus.


Gambar 1

1. Sisi, rusuk, dan titik sudut kubus

a. Sisi kubus, enam buah persegi pada kubus itu disebut sisi kubus, sisi-sisi kubus tersebut adalah bidang ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, dan DCGH

b. Rusuk kubus, rusuk kubus merupakan garis persekutuan antara dua sisi kubus, rusuk sebuah kubus berjumlah 12 buah. Rusuk-rusuk tersebut adalah AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, dan DH.

c. Titik sudut kubus, titik sudut kubus adalah persekutuan tiga rusuk atau tiga bidang sisi, banyaknya titik sudut sebuah kubus adalah delapan buah yaitu A,B,C,D,E,F,G, dan H.

d. Rumus Euler, pada sebuah kubus terdapat 6 (S=6)buah sisi, banyaknya rusuk ada 12 (R=12) buah dan banyaknya titik sudut ada 8 (T=8) buah. Hubungan antara S,R, dan T dapat dituliskan dengan persamaan : S + T = R + 2.

1. Diagonal sisi, diagonal ruang, dan bidang diagonal.

a. Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua buah titik yang berhadapan pada setiap sisi kubus.

Gambar 2

Diagonal AH dan DE adalah diagonal sisi pada sisi ADHE sedangkan diagonal-diagonal sisi yang lainnya adalah AF dan BE untuk sisi ABFE , DG dan CH untuk sisi DCGH, BG dan CF untuk sisi BCGF, AC dan BD untuk sisi ABCD,serta EG dan FH untuk sisi EFGH. Untuk menentukan panjang diagonal-diagonal tersebut mempergunakan teorema Phytagoras.

Misalnya untuk menghitung panjang diagonal EB, bila panjang AB adalah cm, maka panjang EB adalah :




dengan cara yang sama dapat dihitung pula diagonal sisi yang lainnya.

1. Diagonal ruang, diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada ruang kubus ABCD.EFGH. dalam sebuah kubus terdapat 4 diagonal ruang yaitu: AG, BH, CE, dan DF. Keempat ruas garis itu berpotongan pada sebuah titik yang membentuk sebagai titik pusat kubus.

Gambar 3

Perhatikan pada gambar 3, segitiga BDH dengan siku-siku di D, dengan teorema phytagoras dapat dihitung panjang BH, jika panjang BD adalah
maka panjang BH adalah :
Dengan demikian dapat disimpulkan pula bahwa BH=AG=CE=DG=




1. Bidang diagonal, bidang diagonal sebuah kubus adalah bidang yang dibuat melalui rusuk yang berhadapan dalam ruang. Perhatikan gambar dibawah ini :
Gambar 4

Bidang BDHF adalah bidang diagonal, sedangkan bidang diagonal yang lainnya adalah ACGE, ADGF, BCHE, DCFE,dan ABGH.

Keenam bidang diagonal itu masing-masing berbentuk persegi panjang yang sama, jika panjang rusuk adalah a cm, maka luas bidang diagonalnya adalah .

1. Jaring-jaring kubus.

Bila kubus tersebut terbuat dari karton, lalu digunting mengikuti rusuk-rusuk tertentu, kemudian direbahkan pada bidang horizontal, maka akan diperoleh jarring-jaring kubus dalam berbagai bentuk perhatikan gambar dibawah ini :
Gambar 5


Adakah bentuk yang lain?, silahkan coba sendiri karena masih ada beberapa bentuk yang lainnya (sedikitnya masih ada 9 lagi).

1. Simetri pada kubus

a. Bidang parallel tengah. Bidang simetri seperti ini ada 3 buah seperti yang ditunjukkan oleh gambar 6.

a b c
Gambar 6

b. Bidang diagonal. Bidang jenis ini ada 6 macam, perhatikan gambar 7 pada gambar tersebut diperlihatkan 3 contoh, untuk 3 yang lainnya silahkan cari dan gambarkan sendiri.

Gambar 7

c. Simetri cermin. Sebuah kubus dapat diputar dengan garis s sebagai sumbunya, pada gambar diperlihatkan contoh kubus diputar pada sumbu s, untuk mengetahui berapa banyak simetri putar sebaiknya silahkan mencobanya sendiri dengan membuat kubus dari karton lalu siapkan sebatang kawat sebagai sumbunya.
Gambar 8

1. Luas permukaan dan volume kubus

Jika sebuah kubus memiliki panjang rusuk a cm, maka luas permukaan dan volum kubus itu dapat dihitung dengan ketentuan sebagai berikut :

Luas permukaan kubus L = 6a2 cm2

Volum kubus V = a3 cm3

logika matematika tabel kebenaran

F. MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM
PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK DAN
PERNYATAAN BERKUANTOR.

A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).
1. Pernyataan
1.1. Pengertian Pernyataan .
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan
Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,
p dan q.Perhatikan contoh berikut !
1.3. Kalimat Terbuka.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga
belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka
tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan
suatu konstanta.
Contoh :
a) Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)
b) Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)
B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan
Ingkaranya.
B.1. Pernyataan Majemuk.
Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu
pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga
diperoleh suatu pernyataan majemuk.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)
dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika Penghubung Lambang

Ingkaran Tidak, non ~ atau -

Konjungsi Dan

Disjungsi Atau

Implikasi Jika….maka….

Biimplikasi Jika dan hanya jika



Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam
logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.
Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan
Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.




p ~ p
B
S S
B

1.2. Operasi Konjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua
pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ”. Dengan operasi ini dua
pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

Jika p dan q dua pernyataan , maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya p q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
salah atau keduanya salah.
Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.

p q p q

B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S

1.3. Operasi Disjungsi
Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda
” ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata
hubungan “atau”.
Jika p dan q dua pernyataan maka p q bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya p q
bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Tabel nilai kebenaran Disjungsi
p q p q

B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S

1.4. Operasi Implikasi.
Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang
menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dan dibaca “ jika p maka q”.
Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah
syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
Dalam pernyataan p q
p disebut hipotesa / anteseden / sebab
q disebut koklusi / konequen / akibat

Jika p dan q dua buah pernyataan maka p q salah jika p benar dan q
salah,dalam kemungkinan lainnya p q benar.
Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

p q p q

B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B

1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika
dan hanya jika …..” dinotasikan “ ” .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dibaca p jika dan hanya jika q.
Pernyataan p q dapat juga dibaca :
1) p equivalent q
2) p adalah syarat perlu dan cukup bagi q

Jika pdan q dua buah pernyatan maka p q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .
Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.

p q p q

B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
B

1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi
pernyataan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( )
dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.
Contoh : 1) ~( p ~q)
2) ~
3)
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan
pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan
biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ).
Jawab :

p q ~q ( p q )
~ ( p ~q ).

B
B
S
S B
S
B
S S
B
S
B B
B
S
B S
S
B
S


Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ) adalah S S B S

C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain
sebagai berikut :
1) q p disebut pernyataan Konvers dari p q
2) ~p ~q disebut pernyataan Invers dari p q
3) ~q ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p q
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q , ~q ~p dengan p q
Implikasi Konvers Invers Kontraposisi
p q ~p ~q p q
q p
~p ~q
~q ~p

B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B

Dari tabel diatas ternyata :
Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar

C.1. Negasi Pernyataan Majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi
pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi Lambang Negasi
Konjungsi


Disjungsi


Implikasi


Biimplikasi
atau


Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !
D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik
Kesimpulan
Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.
D.1. Modus Ponens
Jika benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

. . . . . . premis 1
p . . . . . . premis 2
. . . . . kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai
. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan
majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.

Tabel nilai kebenaran dari
p q



B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B

Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa merupakan
tautologi,jadi argumen tersebut sah.
D.2. Modus Tollens
Jika benar dan benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:



. . . . . premis 1
~q . . . . . premis 2

~p . . . . . . kesimpulan / konlusi

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah
atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !

Tabel nilai kebenaran

p q ~p ~q



B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B

Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa merupakan tautologi. Jadi
modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

D.3. Silogisma
Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

. . . . . premis 1
. . . . . premis 2
. . . kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran .

p q r




B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B

Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa merupakan
tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg2a


SELISIH DUA SUDUT
(a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg2a


SUDUT RANGKAP

sin 2
a  = 2 sin a cos a
cos 2
a = cos2a - sin2 a
         = 2 cos2
a - 1
         = 1 - 2 sin2
a
tg 2
a  =  2 tg 2a 
            1 - tg2
a
sin
a cos a = ½ sin 2a
cos2
a = ½(1 + cos 2a)
sin2
a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :


sin n
a  = 2 sin ½na cos ½na
cos n
a = cos2 ½na - 1
        = 2 cos2 ½n
a - 1
        = 1 - 2 sin2 ½n
a
tg n
a =   2 tg ½na  
           1 - tg2 ½n
a

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN
® PERKALIAN

sin
a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin
a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos
a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos
a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN
® PENJUMLAHAN

2 sin
a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos
a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos
a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x -
a)

a cos x + b sin x = K cos (x-
a)
dengan :                     
             K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

I
II
III
IV
a
+
-
-
+
b
+
+
-
-
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin
a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° -
a) + n.360°


    cos x = cos
a Þ x = ± a + n.360°

tg x = tg a
Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-
a) = C
               cos (x-
a) = C/K
     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1
£ C/K £ 1 atau K² ³ (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos
b
  cos (x -
a) = cos b
        (x -
a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia. Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Di pihak lain, Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di dalam karya Euklides, Elemen. Matematika selalu berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100 M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang berlanjut hingga kini.
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.

Daftar isi

Etimologi

Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno μάθημα (máthēma), yang berarti pengkajian, pembelajaran, ilmu, yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi "pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata sifatnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berkaitan dengan pengkajian, atau tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti matematis. Secara khusus, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), di dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis les mathématiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal la mathématique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal yang matematis". Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai math di Amerika Utara dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak binatang, adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran abstrak, seperti waktuhari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan astronomi. Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006 terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9 juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema matematika baru beserta bukti-buktinya."

Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu Pengetahuan Alam".
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri, termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni. Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah ditemukan hingga abad ke-16. Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti atau dan hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal terbuka dan lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal homomorfisme dan terintegralkan. Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini: matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini sebagai "kaku" (rigor).
Lambang ketakhinggaan di dalam beberapa gaya sajian.
Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini. Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

Matematika sebagai ilmu pengetahuan

Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan ilmu pengetahuan berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan alam adalah di masa terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur (dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman, mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan umum dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika, sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan. Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang, mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang diterbitkan pada 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika diciptakan (seperti di dalam seni) atau ditemukan (seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen Ilmu Pengetahuan dan Matematika, ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir. Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27] dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan. Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978, mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya, Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium", diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1 juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di dalam masalah-masalah Hilbert.

[ Bidang-bidang matematika

Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah ke pengkajian kaku akan ketakpastian.

Besaran

Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat. Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
1, 2, 3\,\! -2, -1, 0, 1, 2\,\!  -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\! -e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\! 2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks

Ruang

Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid. Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum) dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan. Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang, struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20, dan menyertakan konjektur poincaré yang telah lama ada dan teorema empat warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sine cosine plot.svg Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal

Perubahan

Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks. Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih saja belum terdugakan.
Integral as region under curve.svg Vector field.svg Airflow-Obstructed-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg Princ Argument C1.svg
Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis kompleks

Struktur

Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika: besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya terpecahkan oleh Teori galois.
Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde

Dasar dan filsafat

Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan kedua Gödel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang (secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan di dalam sistem itu). Gödel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
 p \Rightarrow q \, Venn A intersect B.svg Commutative diagram for morphism.svg
Logika matematika Teori himpunan Teori kategori

Matematika diskret

Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing. Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer; beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer, tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]
\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf

Matematika terapan

Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey, dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan, melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia; analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau sumber-sumber galat lain di dalam komputasi.

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Tidak ada perupaan atau penjelasan tentang wujud fisik Euklides yang dibuat selama masa hidupnya yang masih bertahan sebagai kekunoan. Oleh karena itu, penggambaran Euklides di dalam karya seni bergantung pada daya khayal seorang seniman (lihat Euklides).
  2. ^ Lynn Steen (29 April 1988). The Science of Patterns Jurnal Science, 240: 611–616. dan diikhtisarkan di Association for Supervision and Curriculum Development., ascd.org
  3. ^ Keith Devlin, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  4. ^ Jourdain.
  5. ^ Peirce, p.97
  6. ^ a b Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikan Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam.
  7. ^ Eves
  8. ^ Peterson
  9. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary
  10. ^ S. Dehaene, G. Dehaene-Lambertz and L. Cohen, Abstract representations of numbers in the animal and human brain, Trends in Neuroscience, Vol. 21 (8), Aug 1998, 355-361. http://dx.doi.org/10.1016/S0166-2236(98)01263-6.
  11. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  12. ^ Sevryuk
  13. ^ Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus. Oxford University Press. 
  14. ^ Eugene Wigner, 1960, "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences," Komunikasi pada Matematika Murni dan Terapan 13(1): 1–14.
  15. ^ Hardy, G. H. (1940). A Mathematician's Apology. Cambridge University Press. 
  16. ^ Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. 
  17. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Gunter M. (2001). Proofs from the Book. Springer. 
  18. ^ Penggunaan Aneka Lambang Matematika Terdini (memuat banyak referensi yang lebih jauh)
  19. ^ Lihatlah bukti palsu untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. sejarah Teorema Empat Warna berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.
  20. ^ Ivars Peterson, Wisatawan Matematika, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).
  21. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4. p. 1, "Di antara banyak cabang matematika modern, teori himpunan menduduki tempat yang unik: dengan sedikit pengecualian, entitas-entitas yang dikaji dan dianalisis di dalam matematika dapat dipandang sebagai himpunan khusus atau kelas-kelas objek tertentu."
  22. ^ Waltershausen
  23. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hlm. 228. 
  24. ^ Popper 1995, p. 56
  25. ^ Ziman
  26. ^ "Fields Medal kini disepakati paling dikenal dan paling berpengaruh di dalam matematika." Monastyrsky
  27. ^ Riehm
  28. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005.
  29. ^ Clay Mathematics Institute P=NP

Referensi

Pranala luar

Cari tahu mengenai Matematika pada proyek-proyek wiki Wikimedia lainnya:
Wiktionary-logo-en.png Definisi kamus
Wikibooks-logo.svg Buku teks
Wikiquote-logo.svg Kutipan
Wikisource-logo.svg Teks sumber
Commons-logo.svg Gambar dan media